順列と組合せを理解してみる－競馬の組合せ

はじめに

これまで順列と組合せを学んできたので、応用として競馬の組合せを計算してみたいと思います。 yaju3d.hatenablog.jp yaju3d.hatenablog.jp

競馬の組合せ

１８頭出る場合で想定してみます。

単勝

１着になる馬を当てる馬券です。

１着になる馬は１８通り考えられます。
一般式 $n$
n = 18 なので $18$ 通りです。

複勝

３着までに入る馬を当てる馬券です。

考え方は単勝と同じです。
一般式 $n$
n = 18 なので $18$ 通りです。

馬単

１着と２着になる馬の馬番号を着順通りに当てる馬券です。

１着の馬は１８通り、２着は１着の馬を除外して１７通りで順列となります。
一般式 $_n P _2$
n = 18 なので $18 \times 17 = 306$ 通りです。

馬連

１着と２着になる馬の馬番号の組合せを当てる馬券です。

１着と２着の順序は関係ないため、組合せを使います。
一般式 $_n C _2$
n = 18 なので $\displaystyle \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153$ 通りです。

枠連

１着と２着になる馬の枠番号の組合せを当てる馬券です。

枠を８通りにしたとして、考え方は馬連と同じです。
一般式 $_n C _2$
n = 8 なので $\displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通りです。

枠連(ゾロ目含む)

枠連の場合、同じ枠で１着と２着になる可能があるのでゾロ目も考慮する。

枠を８通りにしたとして、考え方は枠連にゾロ目分を加算します。
一般式 $_n C _2 + n$
n = 8 なので $\displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1} + 8 = 28 + 8 = 36$ 通りです。

または、全体から引く
一般式 $n^2 - _n C _2$
n = 8 なので $\displaystyle 8 \times 8 - \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 64 - 28 = 36$ 通りです。

ワイド

３着までに入る２頭の組合せを馬番号で当てる馬券です。

２頭の順序は関係ないため、考え方は馬連と同じ組合せを使います。
一般式 $_n C _2$
n = 18 なので $\displaystyle \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153$ 通りです。

３連単

１着、２着、３着となる馬の馬番号を着順通りに当てる馬券です。

１着の馬は１８通り、２着は１着の馬を除外して１７通り、３着は同様に１６通りで順列となります。
一般式 $_n P _3$
n = 18 なので $18 \times 17 \times 16 = 4896$ 通りです。

３連複

１着、２着、３着となる馬の組合せを馬番号で当てる馬券です。

１着と２着と３着の順序は関係ないため、組合せを使います。
一般式 $_n C _3$
n = 18 なので $\displaystyle \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$ 通りです。

ボックス

ボックスとは、連勝式馬券（枠連、馬連、三連複、三連単）で選択した全ての番号の組み合わせを購入する投票方法です。

式別	式	展開
枠連	$_n C _2$	n(n-1) / 2
馬連	$_n C _2$	n(n-1) / 2
ワイド	$_n C _2$	n(n-1) / 2
3連複	$_n C _3$	n(n-1)(n-2) / 6
馬単	$_n P _2$	n(n-1)
3連単	$_n P _3$	n(n-1)(n-2)

５頭を馬連ボックスで買うとした場合、n = 5を計算式に当てはめると、 $5(5-1) / 2 = 5 \times 4 / 2 = 10$ 通りになります。６頭なら $6(6-1) / 2 = 6 \times 5 / 2 = 15$ 通りです。
５頭を３連単ボックスで買うと、 $5(5-1)(5-2) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りになります。