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デジタル・デザイン・ラボラトリーな日々

アラフィフプログラマーが数学と物理を基礎からやり直す

順列と組合せを理解してみる-競馬の組合せ

はじめに

これまで順列と組合せを学んできたので、応用として競馬の組合せを計算してみたいと思います。 yaju3d.hatenablog.jp yaju3d.hatenablog.jp

競馬の組合せ

18頭出る場合で想定してみます。

単勝

1着になる馬を当てる馬券です。

1着になる馬は18通り考えられます。
一般式  n
n = 18 なので 18 通りです。

複勝

3着までに入る馬を当てる馬券です。

考え方は単勝と同じです。
一般式  n
n = 18 なので 18 通りです。

馬単

1着と2着になる馬の馬番号を着順通りに当てる馬券です。

1着の馬は18通り、2着は1着の馬を除外して17通りで順列となります。
一般式  _n P _2
n = 18 なので  18 \times 17 = 306 通りです。

馬連

1着と2着になる馬の馬番号の組合せを当てる馬券です。

1着と2着の順序は関係ないため、組合せを使います。
一般式  _n C _2
n = 18 なので  \displaystyle \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153 通りです。

枠連

1着と2着になる馬の枠番号の組合せを当てる馬券です。

枠を8通りにしたとして、考え方は馬連と同じです。
一般式  _n C _2
n = 8 なので  \displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 通りです。

枠連(ゾロ目含む)

枠連の場合、同じ枠で1着と2着になる可能があるのでゾロ目も考慮する。

枠を8通りにしたとして、考え方は枠連にゾロ目分を加算します。
一般式  _n C _2 + n
n = 8 なので  \displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1} + 8 = 28 + 8 = 36 通りです。

または、全体から引く
一般式  n^2 - _n C _2
n = 8 なので  \displaystyle 8 \times 8 - \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 64 - 28 = 36 通りです。

ワイド

3着までに入る2頭の組合せを馬番号で当てる馬券です。

2頭の順序は関係ないため、考え方は馬連と同じ組合せを使います。
一般式  _n C _2
n = 18 なので  \displaystyle \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153 通りです。

3連単

1着、2着、3着となる馬の馬番号を着順通りに当てる馬券です。

1着の馬は18通り、2着は1着の馬を除外して17通り、3着は同様に16通りで順列となります。
一般式  _n P _3
n = 18 なので  18 \times 17 \times 16 = 4896 通りです。

3連複

1着、2着、3着となる馬の組合せを馬番号で当てる馬券です。

1着と2着と3着の順序は関係ないため、組合せを使います。
一般式  _n C _3
n = 18 なので  \displaystyle \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816 通りです。

ボックス

ボックスとは、連勝式馬券(枠連馬連、三連複、三連単)で選択した全ての番号の組み合わせを購入する投票方法です。

式別 展開
枠連  _n C _2 n(n-1) / 2
馬連  _n C _2 n(n-1) / 2
ワイド  _n C _2 n(n-1) / 2
3連複  _n C _3 n(n-1)(n-2) / 6
馬単  _n P _2 n(n-1)
3連単  _n P _3 n(n-1)(n-2)

5頭を馬連ボックスで買うとした場合、n = 5を計算式に当てはめると、5(5-1) / 2 = 5 \times 4 / 2 = 10 通りになります。6頭なら 6(6-1) / 2 = 6 \times 5 / 2 = 15 通りです。
5頭を3連単ボックスで買うと、5(5-1)(5-2) = 5 \times 4 \times 3 = 60 通りになります。

枠連をボックスで購入するとゾロ目(例 3-3、5-5)は含まれません。

フォーメーション

フォーメーションとは、特に三連単の時に1着・2着・3着それぞれに可能性のある馬番を選択する投票方法です。
ボックスでは買い目が増えるのが難点です。そこでもう少し予想の幅を狭めて目数を減らす買い方がフォーメーションとなります。

式別 展開
枠連 n n
馬連 n n
ワイド n n
3連複(軸1頭)  _n C _2 n(n-1) / 2
3連複(軸2頭) n n
馬単 n n
3連単(軸1頭)  _n P _2 n(n-1)
3連単(軸2頭) n n

枠連馬連・ワイド・馬単3連複(軸2頭)・3連単(軸2頭)

「軸と他1頭」と考えて n 通りとなります。

3連複(軸1頭)

「軸1頭と馬連BOX」と考えて、馬連BOXと同じ  _n C _2 となります。

3連単(軸1頭)

「軸1頭と馬単BOX」と考えて、馬単BOXと同じ  _n P _2 となります。

5頭を3連単ボックスで買うと60通りですが、1着はこの馬しかありえないと考えると3連単(軸1頭)とします。
1着以外の4頭の組合せで考えます。
n=4なので、4(4-1) = 4 \times 3 = 12 通りになります。ボックスで買うより48点も少なくなります。

マルチ

マルチ投票とは「馬単ながし」、「3連単ながし」において、軸と相手の着順を入れ替えた組合せも同時に購入する投票方法です。
言葉だけだと分かりにくいので例を挙げて見てみましょう。

式別 展開
馬単 n \times 2 n x 2
3連単(軸1頭)  _n P _2 \times 3 n(n-1) x 3
3連単(軸2頭) n n x 6

馬単

軸馬①から相手馬②③④に流した場合
・マルチなし→1着①から2着②③④流しの3点です。(軸馬2着固定もできます)
・マルチあり→上記3点に加え、2着①から1着②③④への流し3点で計6点です。
つまり「裏」も購入するって事です。軸馬が1着の時と2着の時両方が対象です。

フォーメーションの馬単が nですから、裏も対象となるため n \times 2 となります。

3連単(軸1頭)

軸馬①から相手馬②③④の場合
1着①から2・3着②③④に流した場合の①-②-③、①-②-④、①-③-②、①-③-④、①-④-②、①-④-③ の6点に加え
2着①から1・3着②③④に同様に流した場合の6点
3着①から1・2着②③④に同様に流した場合の6点の計18点です。

[A(軸)][B][C]というグループですので、ABCの組み合わせ(=馬単の3頭BOX)と同じ考え方になります。
3連単(軸1頭)に3を掛けた n(n-1) \times 3で計算できます。

上記例の4頭の場合、1着以外の3頭の組合せで考えます。
n=3なので、3(3-1) \times 3 = 3 \times 2 \times 3 = 18 通りとなります。

3連単(軸2頭)

軸馬①②から相手馬③④⑤の場合
①-②-☆、②-①-☆、①-☆‐②、②‐☆‐①、☆‐①‐②、☆‐②‐①以上の6パターンがあり、☆の部分に相手馬③④⑤が入ります。
よって6パターン×相手3頭で計18点です。

3連単(軸2頭)は[A(軸)][B(軸)][C]というグループですので、ABCの順列(=馬単の3頭BOX)と同じ考え方になります。
3連単(軸2頭)に6を掛けた n \times 6で計算できます。

上記例の5頭の場合、1着2着以外の3頭の組合せで考えます。
n=3なので、3 \times 6 = 18 通りとなります。

終わりに

即PATで投票内容を入力すると組合せの件数が出てくるけど、なんでこんな件数になるんだろうと思ってた部分があったので、理解が出来てすっきりした感じです。

余談ですが出来るだけ損をしたくない方は、即PATに「投票金額自動配分機能」があります。
参照:マニュアルの「金額」の入力の予算金額セット

これは購入予算額を入力するだけで、どのベットが的中しても払戻金が均一に近くなるように各ベットの購入金額を自動配分する機能です。

参考