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2元連立1次方程式の解法

文字係数を使った2元連立1次方程式の解き方の理解が乏しかったので、解法を学んでいく。
2元連立1次方程式なので、未知数が2つある連立1次方程式です。

連立方程式
\left\{ \begin{array}{l}ax+by=p\\ cx+dy=q \end{array} \right.

このように未知数(x,y)以外に文字係数(a,b,c,d,p,q)となっている場合にどのように求めるのか?

連立方程式の解き方には2つの方法として加減法と代入法がありますが、ここでは加減法を用いて解いていきます。
\left\{ \begin{array}{l}ax+by=p\hspace{50px}(1)\\ cx+dy=q\hspace{50px}(2) \end{array} \right.
どちらの未知数を消去しても同様の結果が得られるので、ここでは x を消去します。そのためには係数を揃えなければいけません。同じ係数にするには

(1)の両辺に d(2)の両辺に b を掛けます。
\left\{ \begin{array}{l}adx+bdy=dp\hspace{26px}(3)\\ bcx+bdy=bq\hspace{30px}(4)\end{array} \right.

bdyの係数が揃ったので、(4)を変形します。
bdy=bq-bcx\hspace{50px}(5)

これを(3)に代入します。
adx+(bq-bcx)=dp\hspace{30px}(6)

この式をxを基準に整理します。
(ad-bc)x=dp-bq\hspace{40px}(7)
x=\displaystyle{\frac{dp-bq}{ad-bc}\hspace{100px}}(8)

未知数xが求まったので、(1)または(2)のどちらでも同じですが、(1)に代入します。

a\times\displaystyle{\frac{dp-bq}{ad-bc}+by=p\hspace{40px}}(9)

今度は未知数yを求めるため、(9)を変形します。
by=p-\displaystyle{\frac{a(dp-bq)}{ad-bc}\hspace{40px}}(10)

通分するためにpに分母(ad-bc)を掛けます。
by=\displaystyle{\frac{p(ad-bc)-a(dp-bq)}{ad-bc}\hspace{40px}}(11)

式を整理します。
by=\displaystyle{\frac{pad-pbc-adp+abq}{ad-bc}\hspace{40px}}(12)
padadpは、順序が違うだけで掛け算の計算結果は同じになるため、消去できます。
by=\displaystyle{\frac{-pbc+abq}{ad-bc}\hspace{40px}}(13)

-pbc+abqbで整理します。
by=\displaystyle{\frac{b(aq-pc)}{ad-bc}\hspace{50px}}(14)

よって
y=\displaystyle{\frac{aq-pc}{ad-bc}\hspace{70px}}(15)

これにより、下記が導出されます。ただし、ad-bc\neq0とします。
\left\{ \begin{array}{l}x=\displaystyle{\frac{dp-bq}{ad-bc}\\y=\frac{aq-pc}{ad-bc}}\end{array} \right.


次は、先程の2元連立1次方程式を行列で表現してみます。
\left\{ \begin{array}{l}ax+by=p\\ cx+dy=q \end{array} \right.

行列式
\begin{pmatrix}ax+by\\ cx+dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}

さらに変形します。
\begin{pmatrix}a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
 x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}

と変形できますから
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}逆行列をもてば、解を得ることができます。


もう1つ、先程の2元連立1次方程式
\left\{ \begin{array}{l}ax+by=p\\ cx+dy=q \end{array} \right.
の解答は下記の通りでした。(表現を1列に変更しています)
x=(dp-bq)/(ad-bc)\hspace{10px},\hspace{10px}y=(aq-pc)/(ad-bc)

2次正方行列A行列式\mid A \midで表し、下記のようなスカラー値になります。
\mid A \mid=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
これは解答の分母と同じになります。

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