デジタル・デザイン・ラボラトリーな日々

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順列と組合せを理解してみる-場合の数

はじめに

前回、重複順列をやりましたので今回は順列と行きたいところですが、順列に入る前に「場合の数」として「積の法則」と「和の法則」について説明します。 yaju3d.hatenablog.jp

場合の数とは

ある事柄の起こりうる場合の総数のことです。
場合の数を数える重要な考え方として「積の法則」と「和の法則」があります。

積の法則

事柄Aの起こり方が m 通りあり、その各々に対して事柄Bの起こり方が n 通りあるとき、AとBがともに起こる場合の数は( m × n )通りである。

問題

例えばお絵かきソフトのオプションボタンで、ペンの色が「赤・黄・青」、線の種類が「実践・点線」、図形の種類が「直線・四角形・円」とあった場合、このオプションボタンの組合せで描くことができる図形は何種類あるか?

3 \times 2 \times 3 = 18通りとなります。

解説

ペンの色、線の種類、図形の種類は、それぞれの中から必ず1つを選択するようになっています。つまり、この3つは同時に起こる事象です。事象の数がいくつあっても、それが同時に起こる場合は積の法則で場合の数を求めます。

和の法則

事柄A、Bが同時には起こらないとき、Aの起こり方が m 通り、Bの起こり方が n 通りとすると、AまたはBのどちらかが起こる場合の数は( m + n )通りである。

問題

まったく同じ形の2つのサイコロを同時に投げて、出た目の合計が「5」または「10」になる組合せはいくつあるでしょう?

2 + 2 = 4通りとなります。

解説

出た目の合計が「5」になるのは「1+4」と「2+3」の2通り、出た目の合計が「10」になるのは「4+6」と「5+5」の2通りです。 事象の数がいくつあっても、それが同時に起こらない場合は和の法則を使って場合の数を求めます。

和の法則と積の法則の使い分け

簡単な考え方
和の法則=「または」のとき
積の法則=「かつ」のとき
参照:【場合の数と確率】和の法則と積の法則の使い分け